Можно ли использовать хостинг с поддержкой MySQL/PostgreSQL и т.п.?

Да. На рынке предлагаются решения, когда база данных формата SQL размещается в облаке у хостера, под вашим управлением (администрированием).

MySQL хостинг — это хостинг, поддерживающий работу сайтов с использованием баз данных MySQL. Как правило управление базами данных происходит либо через панель управления, либо через интерфейс PHPMyAdmin. Т.к. этот вид баз данных используется вместе с языком программирования PHP, то у большинства современных провайдеров они поддерживаются. Сами провайдеры обычно в более дешевых тарифных планах разрешают использовать минимальное количество БД, а в самых дорогих наоборот — полностью убирают лимит.

Выбирая хостинг для MySQL сервера, важно соотнести характеристики VPS или выделенного сервера с размером баз данных, которые будут на нем размещены. Для крупной БД понадобится большой диск. Бутылочным горлышком для постоянно используемой БД может стать скорость чтения и записи данных, поэтому для высоко нагруженных БД стоит обратить внимание на диски последнего поколения NVMe SSD, позволяющие в разы увеличить скорость работы с твердотельными накопителями.